XLSTAT: Uso de diferencias para obtener una serie temporal estacionaria en Excel

 

Conjunto de datos del ejemplo

El conjunto de datos se obtuvo de [Box, G.E.P. y Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco], y corresponde al número mensual de pasajeros de aerolíneas internacionales (en miles) desde enero de 1949 hasta diciembre de 1960. Es ampliamente utilizado como una serie temporal estacional no estacionaria.

Observamos una tendencia general creciente en el gráfico. Cada año comienza un ciclo similar, mientras que la variabilidad dentro de un año parece aumentar con el tiempo. Para confirmar esta tendencia, analizaremos la función de autocorrelación de la serie.

 

Análisis descriptivo de una serie temporal

Configuración

• Abre XLSTAT.

• Haz clic en el menú Forecasting / Análisis de series temporales y selecciona la opción Análisis descriptivo.

• En la pestaña General, selecciona los valores de la serie temporal.

• En la pestaña Opciones, marca Automático para elegir automáticamente el número de pasos de tiempo. Ajusta los intervalos de confianza al 95% y marca la opción de pruebas de ruido blanco.

• En la pestaña Resultados, asegúrate de que las opciones Autocorrelaciones y Autocorrelaciones parciales estén marcadas.

• En la pestaña Gráficos, marca Autocorrelograma y Autocorrelograma parcial.

• Haz clic en OK para ejecutar los cálculos. Los resultados se muestran en una nueva hoja de Excel.

 

Interpretación de los resultados

La primera tabla muestra las estadísticas descriptivas. A continuación, aparecen las tablas del test de normalidad y de los tests de ruido blanco. El test de Jarque-Bera es una prueba de normalidad basada en los coeficientes de asimetría (skewness) y curtosis. Cuanto mayor sea el valor de la estadística Chi-cuadrado, menos probable será la hipótesis nula de que los datos siguen una distribución normal. Aquí el p-value, que corresponde a la probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesis nula, es cercano a 0.012. Con un nivel de significación α = 0.05, se debería rechazar la hipótesis nula.

Los otros tres tests (Box-Pierce, Ljung-Box, McLeod-Li) se calculan en diferentes rezagos. Permiten verificar si los datos pueden considerarse ruido blanco. También se basan en la distribución Chi-cuadrado. Todos coinciden en que los datos no pueden considerarse generados por un proceso de ruido blanco. Mientras que el orden de los datos no influye en el test de Jarque-Bera, sí influye en estos tres tests, que son particularmente adecuados para el análisis de series temporales.

Debajo de la tabla que muestra las funciones descriptivas de la serie temporal, dos gráficos de barras muestran la evolución de la función de autocorrelación (ACF) y de la función de autocorrelación parcial (PACF). También se muestran los intervalos de confianza al 95%. Al observar el autocorrelograma, podemos identificar una clara autocorrelación en el rezago 1, así como una estacionalidad de aproximadamente 12 meses.

 

Transformación de una serie temporal

Para mejorar la normalidad de los datos, queremos realizar dos transformaciones:

1. Estabilizar la variabilidad creciente de la serie.

2. Eliminar las autocorrelaciones mediante diferenciación.

 

Configuración de la transformación

• Haz clic en Forecasting / Análisis de series temporales y selecciona Transformación de series de tiempo.

• En la pestaña General, selecciona los valores de la serie temporal.

• En la pestaña Opciones, marca la opción Box-Cox y fija el parámetro lambda en 0 para realizar una transformación logarítmica. La transformación logarítmica suele ser una buena elección para eliminar la variabilidad creciente.

• Haz clic en OK para ejecutar. Los resultados aparecen en una nueva hoja de Excel.

 

Interpretación

Primero vemos una tabla y dos gráficos: uno para los datos originales y otro para la serie transformada mediante el logaritmo. Como se esperaba, la transformación eliminó la variabilidad creciente.

 

Configuración de una transformación por diferenciación

• Haz clic en Forecasting / Análisis de series temporales y selecciona Transformación de series de tiempo.

• En la pestaña General, selecciona los valores de la serie transformada con logaritmo.

• En la pestaña Opciones, marca la opción diferenciación y fija:

  • d = 1 para eliminar la tendencia,

  • D = 1 y

  • s = 12 para eliminar la componente estacional anual (12 meses).

• Haz clic en OK. Los resultados se muestran en una nueva hoja de Excel.

 

Interpretación

El gráfico resultante muestra que la diferenciación eliminó eficazmente la tendencia.

Un análisis descriptivo similar sobre la serie transformada genera los siguientes resultados:

El test de Jarque-Bera confirma que la serie se acerca más a una muestra normal (pasamos de 0.012 a 0.027), pero sigue sin ser estacionaria, como confirman los tests de ruido blanco.

Las transformaciones no han sido suficientemente eficaces. El autocorrelograma indica que permanece un componente significativo en los rezagos 1 y 12. Se necesitan más investigaciones para comprender el fenómeno subyacente.

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Configuración de una descomposición estacional

• Haz clic en Forecasting / Análisis de series temporales y selecciona Transformación de series de tiempo.

• Aparece el cuadro de diálogo de análisis descriptivo.

• En la pestaña General, selecciona los valores de la serie transformada.

• En la pestaña Opciones, marca la opción de Decomposición estacional y selecciona el modelo multiplicativo, que parece apropiado dado que la serie muestra un comportamiento claramente multiplicativo en la escala natural. El periodo se fija en 12 para una periodicidad anual en datos mensuales.

• Haz clic en OK. Los resultados se muestran en una nueva hoja de Excel.

 

Interpretación

Una vez calculada, la descomposición se muestra mediante 4 gráficos: la serie original, un componente de tendencia, un componente estacional y un componente aleatorio. Los últimos tres componentes pueden multiplicarse para reconstruir la serie original.

Se puede evaluar ahora la estacionariedad del componente aleatorio. Sin embargo, primero podemos transformarlo nuevamente usando logaritmos para centrarlo en 0.

Se ejecuta nuevamente el análisis descriptivo sobre esta serie. Esta vez, el test de Jarque-Bera no permite rechazar la hipótesis de que la variable sigue una distribución normal.

Desafortunadamente, permanece visible un patrón estacional —aunque menos significativo— en el autocorrelograma. Esto requeriría más trabajo para identificar el proceso generador.