XLSTAT: ANOVA de medidas repetidas con datos desequilibrados utilizando un modelo mixto en Excel

 

Contexto

El ANOVA de medidas repetidas se basa en el mismo modelo que un ANOVA clásico. En nuestro ejemplo, la ecuación del modelo se escribirá de la siguiente manera:

Tendremos dos factores fijos — grupo y tiempo — y un factor de interacción — grupo × tiempo.

A diferencia del análisis de varianza convencional, los errores eijke_{ijk}eijk​ pueden estar correlacionados.

No podemos asumir que las mediciones del mismo sujeto tomadas en distintos momentos sean independientes.

En los modelos mixtos, la ecuación del modelo se expresa como:

donde:

• Y es la variable cuantitativa a explicar.

• X agrupa los factores asociados a los efectos fijos.

• β es un vector de coeficientes asociados a los efectos fijos.

• Z es una matriz que reúne los efectos aleatorios.

• γ es un vector de coeficientes asociados a los efectos aleatorios.

• ε es un vector que agrupa los errores asociados a cada observación.

Para reproducir un ANOVA de medidas repetidas mediante modelos mixtos, una solución consiste en incluir el factor sujeto como una variable aleatoria (con una estructura de covarianza de componentes de varianza) y declarar una estructura de covarianza de error con las mismas propiedades.

En los modelos mixtos con estructuras de covarianza complejas y/o conjuntos de datos desbalanceados (como en nuestro ejemplo), las estadísticas de prueba para los efectos fijos siguen distribuciones desconocidas y ya no son pruebas F (de Fisher) exactas.

Asumiendo que las estadísticas de prueba siguen aproximadamente una distribución F, XLSTAT implementa una aproximación de los errores residuales (Satterthwaite, 1946) encontrando la combinación lineal apropiada de las fuentes de error aleatorio del término de error, para probar la significación de cada efecto fijo del modelo en cuestión.

 

Conjunto de datos del ejemplo

Los datos (adjuntos) corresponden a la evaluación de un puntaje de depresión medido en diferentes momentos en 24 pacientes, divididos en dos grupos: un grupo de tratamiento y un grupo control que no recibió tratamiento.

Tenemos las siguientes 4 variables:

• Subject (Sujeto): Variable cualitativa que contiene el identificador del paciente.

• Group (Grupo): Variable cualitativa que indica el grupo al que pertenece el paciente (1: control / 2: tratamiento).

• Time (Tiempo): Variable cualitativa que indica el momento en que se realizó la medición del puntaje; incluye 5 modalidades (0: antes del inicio del tratamiento, 1: un mes después, 3: tres meses después y 6: seis meses después).

• dv: Variable dependiente cuantitativa que representa el puntaje para evaluar el estado de depresión del paciente.

Los datos están desbalanceados, es decir, el número de observaciones en al menos uno de los factores (o modalidades) no es igual.

Ejemplo: el sujeto 1 no fue medido en el tiempo 6; el sujeto 2 sí fue medido en el tiempo 6.

 

Configuración

• Abre XLSTAT.

• Haz clic en el menú Modeling data y selecciona la función Mixed Models.

• Aparece el cuadro de diálogo de Modelos Mixtos.

En la pestaña General:

• Selecciona los datos desde la hoja de Excel.

• La variable dependiente es la que se quiere explicar. En este caso, selecciona el puntaje (dv).

• Selecciona las tres variables cualitativas explicativas: subject, time y group.

• La opción Variable Labels está habilitada ya que la primera fila contiene los nombres de las variables.

En la pestaña Options:

• Selecciona la estructura de la matriz de covarianza para los errores (e) y los efectos aleatorios (g).

• Elige la estructura de componentes de varianza para los efectos aleatorios (también es la estructura por defecto para los residuos).

• Aplica la restricción a₁ = 0, lo que significa que se asume que el grupo control tiene el efecto estándar sobre el puntaje. Esta restricción es teóricamente importante, pero no afecta los resultados ni la calidad del análisis.

• Activa la opción de interacciones para incluirlas en el modelo.

• Activa la opción Satterthwaite’s t-tests para usar la aproximación de Satterthwaite en el término de error del modelo.

Después de hacer clic en OK, aparece una nueva ventana para seleccionar los efectos fijos y aleatorios:

• Selecciona time, group y su interacción time × group como efectos fijos.

• Selecciona subject como efecto aleatorio.

• Haz clic en OK y comenzará el cálculo.

• Los resultados se mostrarán a continuación.

 

Interpretación de los resultados

Tabla de coeficientes de ajuste del modelo

Los primeros resultados mostrados por XLSTAT son los coeficientes de bondad de ajuste.

Los parámetros del modelo se obtienen usando el método de máxima verosimilitud restringida (REML).
Todos los índices sirven para comparar modelos con diferentes estructuras de covarianza.

La siguiente tabla muestra los parámetros de las matrices de covarianza del efecto aleatorio.

Las pruebas Z (p-valores Pr > Z) indicadas en las tablas reflejan una buena fiabilidad en las estimaciones del error estándar para los parámetros aleatorios del modelo.
Sin embargo, los errores estándar de los parámetros son altos (probablemente debido al pequeño tamaño de la muestra).

La tabla de efectos fijos Tipo III (abajo) permite verificar la significación de los efectos fijos usando la prueba F de Fisher.
Aquí observamos que todos los efectos fijos son significativos.

El tiempo transcurrido tiene el efecto más importante.
El método de aproximación de Satterthwaite se usó para calcular los grados de libertad del denominador y la estadística F, con el fin de obtener un valor (Pr > F) más preciso y así reducir el error Tipo I en la hipótesis probada (igualdad de las diferencias de medias cuadradas mínimas).

En casos desbalanceados, las pruebas para los términos de orden superior son siempre las mismas (como la interacción "grupo × tiempo").

Las hipótesis difieren entre los tipos para los términos de orden inferior ("tiempo" y "grupo").
En nuestro ejemplo, las hipótesis de Tipo I y II dependen del número de observaciones (unidades experimentales) en cada combinación de niveles de los factores, lo que hace difícil interpretar sus supuestos.

Por el contrario, la prueba de hipótesis de Tipo III siempre evalúa el efecto fijo considerado controlando los efectos de los otros factores (mediante descomposición ortogonal), lo que le otorga buenas propiedades para el estudio de conjuntos de datos no balanceados.
Podemos concluir que el tratamiento (variable grupo) y el tiempo transcurrido tienen efectos sobre el nivel de depresión de los pacientes.

La siguiente tabla resume los parámetros del modelo junto con su desviación estándar y su intervalo de confianza.

La interpretación de los parámetros es similar a la de un análisis de varianza clásico.
Las pruebas t de Student sobre la nulidad de los coeficientes de regresión no siguen exactamente una distribución t, pero los resultados presentados en la tabla aproximan una distribución t bajo la hipótesis nula, basándose en la aproximación de Satterthwaite para los grados de libertad efectivos del término de error.

Al observar los parámetros del modelo, vemos que los tiempos 1, 3 y 6 tienen un impacto negativo en el puntaje de depresión.
Los pacientes están menos deprimidos a medida que pasa el tiempo.
Pertenecer al grupo de tratamiento también tiene un impacto negativo en el puntaje de depresión.

Por lo tanto, pudimos realizar un ANOVA de medidas repetidas con modelos mixtos, a pesar de que nuestro conjunto de datos no cumple las condiciones requeridas (número estrictamente idéntico de repeticiones por sujeto).

Además, la aproximación de Satterthwaite aplicada al término de error del modelo garantiza resultados aún más confiables para las distintas pruebas estadísticas calculadas (Tipo I, II, III y pruebas t).