XLSTAT : Utilisation de la différenciation pour obtenir une série temporelle stationnaire dans Excel

Ce tutoriel vous aidera à décrire une série temporelle et à la transformer afin qu'elle devienne stationnaire, dans Excel en utilisant le logiciel XLSTAT.

 

Base de données de l'exemple

L'ensemble de données a été obtenu dans [Box, G.E.P. et Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco], et correspond au nombre mensuel de passagers de compagnies aériennes internationales (en milliers) de janvier 1949 à décembre 1960. C'est une série temporelle saisonnière non stationnaire largement utilisée.

L'objectif de ce tutoriel est de montrer à quel point une analyse descriptive peut être utile avant une approche de modélisation.

 

On observe une tendance générale à la hausse sur le graphique. Chaque année, un cycle similaire commence tandis que la variabilité au cours de l'année semble augmenter avec le temps. Afin de confirmer cette tendance, nous allons analyser la fonction d'autocorrélation de la série.

 

Analyse descriptive d'une série temporelle

Configuration

• Ouvrez XLSTAT.

• Cliquez sur le menu Forecasting/ Time series analysis et sélectionnez l'outil Descriptive analysis.

• Dans l'onglet General, sélectionnez les valeurs des séries temporelles.

• Dans l'onglet Options, cochez l'option Automatique afin de choisir un nombre automatique d'étapes temporelles. Définissez les intervalles de confiance à 95 % et cochez l'option white noise tests.

• Dans l'onglet Outputs, assurez-vous que les options Autocorrelations et Partial autocorrelations sont cochées.

• Dans l'onglet Charts, cochez Autocorrelogram et Partial autocorrelogram.

• Cliquez sur le bouton OK pour lancer les calculs.

• Les résultats s'affichent dans une nouvelle feuille.

 

Interpretation des résultats

Le premier tableau affiche les statistiques descriptives. Ensuite, le tableau des tests de normalité et des tests de bruit blanc (Normality test and white noise tests) s'affiche. Le test de Jarque-Bera est un test de normalité, basé sur les coefficients d'asymétrie et d'aplatissement. Plus la valeur de la statistique du Khi-deux est élevée, moins il est probable que l'hypothèse nulle selon laquelle les données sont normalement distribuées soit vraie. Ici, la valeur p, qui correspond à la probabilité de se tromper en rejetant l'hypothèse nulle, est proche de 0,012. Avec un niveau de significativité alpha = 0,05, on devrait rejeter l'hypothèse nulle.

Les trois autres tests (Box-Pierce, Ljung-Box, McLeod-Li) sont calculés pour différents décalages temporels. Ils permettent de tester si les données peuvent être supposées être du bruit blanc. Ces tests sont également basés sur la distribution du Khi-deux. Ils s'accordent tous à dire que les données ne peuvent pas être supposées être générées par un processus de bruit blanc. Alors que le tri des données n'a aucune influence sur le test de Jarque-Bera, il en a une sur les trois autres tests qui sont particulièrement adaptés à l'analyse de séries temporelles.

Sous le tableau qui affiche les fonctions descriptives de la série temporelle, deux diagrammes en barres montrent l'évolution de la fonction d'autocorrélation (ACF) et de la fonction d'autocorrélation partielle (PACF). Les intervalles de confiance à 95 % sont également affichés. En observant l'autocorrélogramme, on peut identifier une autocorrélation évidente au décalage 1, ainsi qu'une saisonnalité qui semble être de 12 mois.

 

Transformation d'une série temporelle

Afin d'améliorer la normalité des données, nous voulons effectuer deux transformations :

• Premièrement, nous voulons stabiliser la variabilité croissante de la série.
• Deuxièmement, nous voulons supprimer les autocorrélations en procédant à une différenciation de la série.

 

Configuration de la transformation d'une série temporelle

• Cliquez sur le menu Forecasting/ Time series analysis et sélectionnez l'outil Time Series Transformation.

  

• Dans l'onglet General, sélectionnez les valeurs des séries temporelles.

• Dans l'onglet Options, cochez l'option Box-Cox et fixez le paramètre lambda à 0 afin d'effectuer une transformation logarithmique de la série. La transformation logarithmique est souvent un bon choix pour éliminer la variabilité croissante.

• Cliquez sur le bouton OK pour lancer les calculs.
• Les résultats s'affichent dans une nouvelle feuille.

 

Interprétation des résultats

On voit d'abord un tableau et deux graphiques : l'un pour les données originales et l'autre pour la série transformée par logarithme. Comme prévu, la transformation a éliminé la variabilité croissante.

 

Configuration d'une transformation par différenciation

• Cliquez sur le menu Forecasting/ Time series analysis et sélectionnez l'outil Time Series Transformation.

• Dans l'onglet General, sélectionnez l'outil Time series transformation.

• Dans l'onglet Options, sélectionnez l'option differencing et choisissez une valeur d de 1 pour supprimer la tendance, D à 1, et s à 12 pour supprimer la composante saisonnière de 12 mois.

• Cliquez sur le bouton OK pour lancer les calculs.
• Les résultats s'affichent dans une nouvelle feuille.

 

Interprétation des résultats

Le graphique obtenu montre que la transformation par différenciation a effectivement éliminé la tendance.

Une analyse descriptive similaire appliquée à notre série temporelle transformée donne les résultats suivants.

Le test de Jarque-Bera confirme que la série se rapproche d'un échantillon normal (nous sommes passés de 0,012 à 0,027) mais reste non stationnaire, comme l'indiquent les tests de bruit blanc. 

Les transformations n'ont pas été suffisamment efficaces. En effet, l'autocorrélogramme indique qu'une composante significative subsiste aux décalages 1 et 12. Des investigations supplémentaires sont nécessaires pour comprendre le phénomène sous-jacent.

 

Configuration d'une décomposition saisonnière de la série temporelle

• Cliquez sur le menu Forecasting/ Time series analysis et sélectionnez l'outil Time Series Transformation.

• La boîte de dialogue Analyse descriptive s'affichera.

• Dans l'onglet General, sélectionnez les valeurs de la série temporelle transformée. 

 

• Dans l'onglet Options, sélectionnez l'option seasonal decomposition et le multiplicative model, ui semble approprié car la série temporelle exhibe un comportement clairement multiplicatif à l'échelle naturelle. La période est fixée à 12 pour une périodicité d'1 année sur des données mensuelles.
• Cliquez sur le bouton OK pour lancer les calculs.
• Les résultats s'affichent dans une nouvelle feuille.

 

Interprétation des résultats

Une fois calculée, la décomposition est affichée via 4 graphiques : la série originale, une composante de tendance, une composante saisonnière et une composante aléatoire. Les 3 dernières séries peuvent être multipliées entre elles afin de reconstruire la série originale.

 

La stationnarité de la composante aléatoire pourrait être testée maintenant. Cependant, on peut d'abord transformer à nouveau cette composante aléatoire en utilisant la transformation logarithmique afin qu'elle soit centrée sur 0.

Une analyse descriptive est lancée à nouveau sur cette série. Cette fois, le test de Jarque-Bera ne permet pas de rejeter l'hypothèse d'une variable normalement distribuée.

Malheureusement, un motif saisonnier, moins significatif qu'auparavant, reste visible dans le graphique de l'autocorrélogramme. Cela nécessiterait à nouveau un travail supplémentaire pour identifier le processus générateur.